미분계수, 도함수, 미분, 부정분, 적분
얼마 전 sns인 수학과 교수가 입학생이 미분계수 도함수 미분이 어떻게 다른지 모른다며 고교에서 도대체 어떻게 미적분을 가르치는지 모르겠다고 개탄한 적이 있다.
현장에서 고교생을 가르치는 입장에서 변명하자면 나는 전부터 일관되게 수업 중에 이 개념을 구분해서 이해해야 한다고 강조했던 분이고 지금도 그렇다. 하지만 학생 입장에서는 시험문제를 푸는 데 별 지장이 없기 때문에 반드시 구별해야 한다고 선생님이 아무리 공을 들여도 학생은 한 귀로 듣고 한 귀로 흘린다. 이런 개념을 정확하게 구분하는 총명한 학부 1학년생을 만나고 싶다면 이 개념을 구분하지 못했을 때 피를 보는 문제를 대입시험에 출제하면 된다. 어디서부터 악순환하는지는 잘 모르겠지만 요즘 학생들은 시험에 나오지 않는 것을 아무리 해도 머리에 입력하려고 하지 않는다.
다시 본론으로 돌아가 본 글에서는 많은 고등학생들이 정확하게 구분하지 못하는 미적분의 몇 가지 기본 개념에 대해 살펴보고자 한다. 일단 이 세 가지 차이점이 뭘까?1. 미분계수(=순간변화율 =평균변화율의 극한=접선의 기울기) 2.도함수 3.미분(한다)우선, 1과 2는 명사이고 3은 동사이다. 1과 2는 모두 명사인데 1은 값이고 2는 함수이다. 좀 더 설명하면, 미분계수는 어느 한 점에서의 '값'이며, 도함수는 각 점마다 그 미분계수를 대응시키는 '함수'이다. 1을 일반화시킨 것이 2라고 할 수 있을 것이다. 3은 f가 주어졌을 때 그 도함수 f를 대응시키는 연산이다. 예를 들어 x2를 미분하면 그 도함수 2x를 얻는다.
자, 이제 미분은 끝나고 적분으로 넘어가자. 오해를 불러일으키는 용어 중 하나가 부정적이다. 책마다 조금씩 이 용어의 정의가 다른데, 여기에서는 지난 수십 년간 고등학교 수학 교과서가 채택해 온 정의에 따른다.미분했을 때, f가 되는 함수 F를 f의 '부정적분'으로 하고, F = fdx로 표기한다.지금 확인할 수 있듯이 이 단어는 동사(연산)가 아니라 명사(함수)이다. 부정적분은 동사가 아니라 명사이므로 '부정적분을 구하다'라는 뜻이 되지만, '부정적분하다'는 비문이다. 미분의 역연산은 「부정 적분」이 아닌 「적분」이다. 사실 이 오해는 다음 도식을 버젓이 실은 한 뿌리깊은 수학책에서 기인한다.
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